IMU 预积分与 bias：离散噪声进因子图

1. 200 Hz IMU 不能逐步进 BA

IMU 200 Hz、相机 30 Hz——每个 IMU 样本独立成因子，BA 算力爆炸；优化迭代中 bias 变就重积，线性化点不一致，滤波器过度自信。预积分把 $[t_{i}, t_{j}]$ 区间压成一条相对运动约束，bias 变时用一阶修正而非重积——Forster on-manifold 预积分是 VIO 后端标准件。对接开源实现时，重力坐标系搞反、协方差少乘 $Δ t$ 、bias 变了却忘记修正，是三大高频坑；表现往往是 EuRoC 能复现、真机尺度呼吸。

2. 预积分增量

以线性化点 $b ˉ$ 在 body 系中值积分：

Δ R_{ij} = k \prod Exp ((ω_{k} - b ˉ_{g}), Δ t_{k})

Δ v_{ij} = k \sum Δ R_{k}, (a_{k} - b ˉ_{a}), Δ t_{k}

$Δ p_{ij}$ 同理累加。同时递推对 bias 的 Jacobian $J_{b g}, J_{ba}$ 与协方差 $Σ_{ij}$ （9 或 15 维，视实现）。中值积分 vs 欧拉须与论文/代码一致——混用会在 Chi2 上表现为「看起来收敛但 bias 怪」。

3. bias 一阶修正

优化中 $b = b ˉ + δ b$ ，不重新积分：

Δ R (b) \approx Δ R (b ˉ), Exp (J_{b g}^{R}, δ b_{g})

Δ v (b) \approx Δ v (b ˉ) + J_{b g}^{v}, δ b_{g} + J_{ba}^{v}, δ b_{a}

$Δ p$ 同理。VINS-Mono、OpenVINS、GTSAM ImuFactor 都遵循此结构——这是「可重复线性化」的关键。仅当 $∣ δ b ∣$ 超过阈值才触发重积，阈值与 Allan 标定质量相关。实现时把 $J_{b g}, J_{ba}$ 与 $Δ R, Δ v, Δ p$ 同线程递推，勿分开维护两套积分器。

4. 因子残差（概念）

连接关键帧 $i, j$ ：

r_{R} = Log ((Δ R, Exp (J_{b g} δ b_{g}))^{⊤} R_{i}^{⊤} R_{j})

r_{v} = R_{i}^{⊤} (v_{j} - v_{i} - g, Δ t) - (Δ v + J_{b g}^{v} δ b_{g} + \dots)

bias 建模 random walk： $b_{k + 1} = b_{k} + n_{b}$ 。用 $Σ_{ij}^{- 1}$ 加权。重力 $g$ 在 world 系的符号须与视觉、初始化一致——不一致时 $b_{a}$ 会吸收，短期 EuRoC 仍好看，真机高速转弯掉高程。ImuFactor 的 Chi2 长期偏离 dof，优先查模型与噪声，而非先调视觉权重。

5. 协方差与 √dt 陷阱

离散 Lyapunov： $Σ_{k + 1} = A_{k} Σ_{k} A_{k}^{⊤} + B_{k} Q_{c} B_{k}^{⊤}$ 。 $Q_{c}$ 来自 Allan variance。连续噪声密度 $n_{g}$ （rad/s/√Hz）到离散：不同库差 $Δ t$ 或 $1/ Δ t$ ——填参前读文档，勿从论文直接抄数。协方差与残差必须在同一线性化点计算。Allan 拟合的 $N$ 进 yaml 前对照 VINS/OpenVINS wiki 的 conversion 段，抄错一次就要重跑整条回归。

6. 工程根因表

症状	可能根因
尺度呼吸	预积分协方差过小 / bias 未联合估计
高度漂移	重力方向错 / $b_{a}$ 未收敛
转弯掉高程	$b_{g}$ 错 / 外参旋转错
bias 发散	相机-IMU 时间戳未对齐

调噪声前，先确认 stamp_diff = cam - imu 分布；加速度单位 m/s² 不是 g；IMU 与图像 $t_{d}$ 补偿是否启用。预积分模块与 ESKF 传播若用不同重力符号，表现类似噪声填错。

7. 单元测试

固定一段 IMU，对比「bias 变后一阶修正」与「完整重积分」的 $Δ R, Δ v, Δ p$ ，差应 < 1e-4。把预积分模块从 VIO 拆出来单测，能拦住大部分实现 bug——比跑整条 EuRoC 更快定位。

8. 与 ESKF 的接口

预积分因子和 ESKF 传播必须共享同一测量模型与噪声离散化——一个用中值积分、一个用欧拉，融合会系统性冲突。ESKF 给帧间预测，预积分给 KF 间约束；两者对 $g$ 、 $b$ 的处理不一致时，表现为「滤波稳、优化抖」或反过来。

9. 案例：时间戳错位伪装成噪声问题

cam-imu 差 5 ms 未补偿，调小 gyro 噪声仍 bias 发散——先画 stamp_diff 直方图，再动 Allan 参数。加速度单位用 g 而非 m/s² 时，尺度错 9.81 倍，EuRoC 有时仍「能跑」，真机直线加速段立刻露馅。

10. 验收

IMU 因子 Chi2 接近 dof；
去掉 IMU 因子后 ATE 明显恶化（消融）；
bias 估计量级与 Allan 一致；
预积分与独立传播在固定 bias 下一致；
bias 变化时一阶修正 vs 重积分误差 < 1e-4。

预积分对了，VIO 后端才是在优化物理；错了，bias 会吸收一切，轨迹看起来稳、尺度却在呼吸。把预积分单测纳入 CI，比每次改完跑全长 EuRoC 更省机时。ImuFactor 与 ESKF 传播共用同一份 $g$ 与 bias 模型注释，避免两处各写一版。关键帧间隔变大时，预积分区间变长，一阶 bias 修正误差上限须单测覆盖。